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再开个数学话题
[版面:军事天地][首篇作者:TheMatrix] , 2018年10月12日17:45:15 ,1163次阅读,129次回复
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TheMatrix
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发信人: TheMatrix (TheMatrix), 信区: Military
标  题: 再开个数学话题
发信站: BBS 未名空间站 (Fri Oct 12 17:45:15 2018, 美东)


聊聊拓扑,基本的,点集拓扑。

目标:一点紧致化,英文,one point compactification。这个概念真是太神奇了。我
第一次看到它觉得它太神奇了,很多年以后,我终于提出了一个论点:God is one
point compactification of unknown。直到这个时候,我觉得我对这个概念有点道不
远人的感觉了。


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※ 修改:·TheMatrix 於 Oct 12 17:47:03 2018 修改本文·[FROM: 50.]
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发信人: TheMatrix (TheMatrix), 信区: Military
标  题: Re: 再开个数学话题
发信站: BBS 未名空间站 (Fri Oct 12 17:54:03 2018, 美东)

一点紧致化是什么呢?先举个例子,无穷远点,就是一点紧致化。或者说,复球面就是
复平面的一点紧致化。或者说,复平面,一个无穷大的平面,再加上一个点,叫无穷远
点,加在一起,变成了一个复球面,还是有限的。这叫一点紧致化。

当然知道复球面的时候我还没有开始学数学,也不懂拓扑,当时不觉得很神奇。觉得神
奇是在学点集拓扑的时候。

【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: 聊聊拓扑,基本的,点集拓扑。
: 目标:一点紧致化,英文,one point compactification。这个概念真是太神奇了。我
: 第一次看到它觉得它太神奇了,很多年以后,我终于提出了一个论点:God is one
: point compactification of unknown。直到这个时候,我觉得我对这个概念有点道不
: 远人的感觉了。




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发信人: TheMatrix (TheMatrix), 信区: Military
标  题: Re: 再开个数学话题
发信站: BBS 未名空间站 (Fri Oct 12 18:21:41 2018, 美东)

先只考虑复平面的一点紧致化。也就是二维欧几里得空间的一点紧致化。

一个复平面,它是无穷大的,各个方向都是无穷大的。它上面有开集有闭集。开集就是
一个集合中的任何一点,你都能够画一个小小的圆圈,使整个这个小圆圈都包含在这个
集合中。这叫开集。闭集就是开集的补集。

除了开集和闭集,还有一个概念,紧集,紧致的集合,compact。这是一个非常深奥的
概念。在复平面上,正确的理解就是有限闭集。是闭集,但是必须有限。也就是方圆不
管多大吧,它是有限的,它不能去到无穷远。

一点紧致化,就是这个复平面,外面再加一点,想象这个点悬浮在平面上空,想象平面
四周开始向上弯曲,受到该点的吸引,想象平面的四周往无穷远走的时候,不管往那个
方向吧,都逐渐的往这个点上走,所以这个点叫无穷远点。

现在定义复平面和这个加在一起的这个集合的拓扑,也就是开集和闭集。前面那段是为
了使这个定义更容易想象。

这个定义其实只有一句话:包含无穷远点的开集,是原复平面上有限闭集的补集。

【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: 一点紧致化是什么呢?先举个例子,无穷远点,就是一点紧致化。或者说,复球面就是
: 复平面的一点紧致化。或者说,复平面,一个无穷大的平面,再加上一个点,叫无穷远
: 点,加在一起,变成了一个复球面,还是有限的。这叫一点紧致化。
: 当然知道复球面的时候我还没有开始学数学,也不懂拓扑,当时不觉得很神奇。觉得神
: 奇是在学点集拓扑的时候。




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发信人: TheMatrix (TheMatrix), 信区: Military
标  题: Re: 再开个数学话题
发信站: BBS 未名空间站 (Fri Oct 12 19:00:26 2018, 美东)


谁接一下啊?

【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: 聊聊拓扑,基本的,点集拓扑。
: 目标:一点紧致化,英文,one point compactification。这个概念真是太神奇了。我
: 第一次看到它觉得它太神奇了,很多年以后,我终于提出了一个论点:God is one
: point compactification of unknown。直到这个时候,我觉得我对这个概念有点道不
: 远人的感觉了。





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※ 修改:·TheMatrix 於 Oct 12 19:00:37 2018 修改本文·[FROM: 50.]
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btphy
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发信人: btphy (btphy), 信区: Military
标  题: Re: 再开个数学话题
发信站: BBS 未名空间站 (Fri Oct 12 19:16:29 2018, 美东)

球面就比平面多了一个点,这很显然的事情,有什么可接的。

【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: 谁接一下啊?



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niuheliang
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发信人: niuheliang (别问我是谁), 信区: Military
标  题: Re: 再开个数学话题
发信站: BBS 未名空间站 (Fri Oct 12 20:24:55 2018, 美东)

为啥?如果球在平面和投影点之间,平面不就比球面点“多”了?

【 在 btphy (btphy) 的大作中提到: 】
: 球面就比平面多了一个点,这很显然的事情,有什么可接的。
: ★ 发自iPhone App: ChinaWeb 1.1.4



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synth
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发信人: synth (合成), 信区: Military
标  题: Re: 再开个数学话题
发信站: BBS 未名空间站 (Fri Oct 12 21:11:04 2018, 美东)

从拓扑映射上是这样的。前提假设二维空间是实数集合 R2,因为 axiom of choice 。
。。


【 在 niuheliang(别问我是谁) 的大作中提到: 】
<br>: 为啥?如果球在平面和投影点之间,平面不就比球面点“多”了?
<br>
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dnls
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发信人: dnls (西方伪史考), 信区: Military
标  题: Re: 再开个数学话题
发信站: BBS 未名空间站 (Fri Oct 12 21:12:33 2018, 美东)

这个有什么神奇的 黎曼球面不是很直观么
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synth
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发信人: synth (合成), 信区: Military
标  题: Re: 再开个数学话题
发信站: BBS 未名空间站 (Fri Oct 12 21:18:37 2018, 美东)

这里有两个问题,一个时无限"尺度"的区域,到有限"尺度"的区域的一一映射
bijection。背后的影子是 axiom of choice。

另一个是拓扑映射的 order 保持的问题,加上一个点。


【 在 TheMatrix(TheMatrix) 的大作中提到: 】
<br>: 谁接一下啊?
<br>
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btphy
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发信人: btphy (btphy), 信区: Military
标  题: Re: 再开个数学话题
发信站: BBS 未名空间站 (Fri Oct 12 21:45:07 2018, 美东)

球面挖去一个点后剩下的可以和平面做连续一一映射没毛病。但整个球面和平面之间不
存在这样的连续映射。直观上看就是球面挖去一个点后剩下的可以摊开变成一张煎饼。


【 在 niuheliang (别问我是谁) 的大作中提到: 】
: 为啥?如果球在平面和投影点之间,平面不就比球面点“多”了?



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※ 修改:·btphy 於 Oct 12 21:47:01 2018 修改本文·[FROM: 142.]
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niuheliang
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发信人: niuheliang (别问我是谁), 信区: Military
标  题: Re: 再开个数学话题
发信站: BBS 未名空间站 (Fri Oct 12 22:21:45 2018, 美东)

我能想象挖掉哪一个点。

我在想那个点是否仍能映射到平面上“无限”远。


【 在 btphy (btphy) 的大作中提到: 】
: 球面挖去一个点后剩下的可以和平面做连续一一映射没毛病。但整个球面和平面之间不
: 存在这样的连续映射。直观上看就是球面挖去一个点后剩下的可以摊开变成一张煎饼。
: ★ 发自iPhone App: ChinaWeb 1.1.4



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bobolan88
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发信人: bobolan88 (波波熊), 信区: Military
标  题: Re: 再开个数学话题
发信站: BBS 未名空间站 (Fri Oct 12 22:42:07 2018, 美东)

有点明白楼主的意思了。所以无论知识多丰富,总要有个一点化的信仰。
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发信人: niuheliang (别问我是谁), 信区: Military
标  题: Re: 再开个数学话题
发信站: BBS 未名空间站 (Fri Oct 12 22:51:29 2018, 美东)

这个信仰我觉得有问题。

如P vs NP。很多人相信NP完全在那个点以内,我认为NP完全在包围那个点半径趋于零
的圈上。


【 在 bobolan88 (波波熊) 的大作中提到: 】
: 有点明白楼主的意思了。所以无论知识多丰富,总要有个一点化的信仰。




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※ 修改:·niuheliang 於 Oct 12 22:51:49 2018 修改本文·[FROM: 76.]
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发信人: TheMatrix (TheMatrix), 信区: Military
标  题: Re: 再开个数学话题
发信站: BBS 未名空间站 (Fri Oct 12 22:51:54 2018, 美东)

黎曼球面是比较直观,尤其是有那个以无穷远点为端点将球面射影到复平面的方法,直
接建立了一一映射。

我刚看到黎曼球面也不觉得神奇,比较巧妙是有的。觉得神奇是学到拓扑学,任何一个
集合,任何一个无穷集合,也不管你上面有什么样的拓扑,都可以加上一个点,整个集
合变成紧致集合。我觉得这个很神奇。


【 在 dnls (西方伪史考) 的大作中提到: 】
: 这个有什么神奇的 黎曼球面不是很直观么




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发信人: TheMatrix (TheMatrix), 信区: Military
标  题: Re: 再开个数学话题
发信站: BBS 未名空间站 (Fri Oct 12 22:54:45 2018, 美东)

对。有各种各样的理解。一点,紧致,这两个词包含人类认识的很多特征。

你说你的,我说我的,各说各的,我们慢慢展开。可以互相讨论。

【 在 bobolan88 (波波熊) 的大作中提到: 】
: 有点明白楼主的意思了。所以无论知识多丰富,总要有个一点化的信仰。




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发信人: TheMatrix (TheMatrix), 信区: Military
标  题: Re: 再开个数学话题
发信站: BBS 未名空间站 (Fri Oct 12 22:56:04 2018, 美东)

你把p=np问题介绍清楚,你就是很好的。开始吧。

【 在 niuheliang (别问我是谁) 的大作中提到: 】
: 这个信仰我觉得有问题。
: 如P vs NP。很多人相信NP完全在那个点以内,我认为NP完全在包围那个点半径趋于零
: 的圈上。




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发信人: TheMatrix (TheMatrix), 信区: Military
标  题: Re: 再开个数学话题
发信站: BBS 未名空间站 (Fri Oct 12 23:10:44 2018, 美东)

从球面到平面的射影上来看,确实很直观。但是拓扑上球面挖去一点和平面等价,当然
这个也很直观。但是反过来想,把平面加上一个点,这个点还是外在的点,要给它一个
拓扑,最后发现这个拓扑等价于一个球面的拓扑,反方向还是有点神奇的。

尤其是一点紧致化是通用的,不光对复平面可用,对任何集合都可用。加一点就变成一
个紧集。而且没有球面给你对应。这个时候还是觉得很神奇的。

【 在 btphy (btphy) 的大作中提到: 】
: 球面就比平面多了一个点,这很显然的事情,有什么可接的。
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发信人: TheMatrix (TheMatrix), 信区: Military
标  题: Re: 再开个数学话题
发信站: BBS 未名空间站 (Fri Oct 12 23:30:33 2018, 美东)


复球面无穷远点开集的定义,一句话就定义完了。但是其意义要慢慢展开,因为包含的
出乎意料的东西很多,我感觉。

比如反过来看,以无穷远点为中心,画一个小的圆圈,一个小的开集,它的补集对应原
复平面上的一个大圆。无穷远点的那个小圆圈越小,它反过来对应的复平面上的大圆就
越大。因为它是补集关系。

现在我要跳跃了,我要由此类比人类的认知过程。当然我认为这不仅是类比,这是同构
,是建模。当然别人不一定同意。

把复平面上零点想象成人类认识的出发点,人类认识到的所有概念的集合,是一个有限
集合,可以想象成以复平面零点为中心的一个大圆,它可能很大,但它还是有限的。人
类认识向外探索,就相当于把这个大圆的边界向外推进。

大圆外面是什么呢?是无穷远点的开集,是无穷远点的临域,是无穷远点的领域,是无
穷远点的疆土,是未知的领域。



【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: 先只考虑复平面的一点紧致化。也就是二维欧几里得空间的一点紧致化。
: 一个复平面,它是无穷大的,各个方向都是无穷大的。它上面有开集有闭集。开集就是
: 一个集合中的任何一点,你都能够画一个小小的圆圈,使整个这个小圆圈都包含在这个
: 集合中。这叫开集。闭集就是开集的补集。
: 除了开集和闭集,还有一个概念,紧集,紧致的集合,compact。这是一个非常深奥的
: 概念。在复平面上,正确的理解就是有限闭集。是闭集,但是必须有限。也就是方圆不
: 管多大吧,它是有限的,它不能去到无穷远。
: 一点紧致化,就是这个复平面,外面再加一点,想象这个点悬浮在平面上空,想象平面
: 四周开始向上弯曲,受到该点的吸引,想象平面的四周往无穷远走的时候,不管往那个
: 方向吧,都逐渐的往这个点上走,所以这个点叫无穷远点。
: ...................





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※ 修改:·TheMatrix 於 Oct 12 23:36:08 2018 修改本文·[FROM: 50.]
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synth
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发信人: synth (合成), 信区: Military
标  题: Re: 再开个数学话题
发信站: BBS 未名空间站 (Fri Oct 12 23:32:03 2018, 美东)

这个神奇的关键还是数学家不仅有 axiom of choice,而且还能有 non-definable 的
choice function(non-definable 的意思是图灵机总是刹不住车)。

【 在 TheMatrix(TheMatrix) 的大作中提到: 】
<br>: 从球面到平面的射影上来看,确实很直观。但是拓扑上球面挖去一点和平
面等价
,当然
<br>: 这个也很直观。但是反过来想,把平面加上一个点,这个点还是外在的点
,要给
它一个
<br>: 拓扑,最后发现这个拓扑等价于一个球面的拓扑,反方向还是有点神奇的。
<br>: 尤其是一点紧致化是通用的,不光对复平面可用,对任何集合都可用。加
一点就
变成一
<br>: 个紧集。而且没有球面给你对应。这个时候还是觉得很神奇的
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※ 修改:·synth 於 Oct 12 23:32:50 2018 修改本文·[FROM: 69.]
※ 来源:· 未名空间站 网址:mitbbs.com 移动:在应用商店搜索未名空间·[FROM: 69.]

 
synth
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发信人: synth (合成), 信区: Military
标  题: Re: 再开个数学话题
发信站: BBS 未名空间站 (Fri Oct 12 23:47:27 2018, 美东)

你这个贴没看到本质问题。这个本质问题就是实数集上的 Axiom of choice,我这不是
开无轨电车,我这么解释。

你上面已经提到了 映射。 你这里的拓扑映射就是实数集合上面的 bijection 。整个
拓扑学就是硬射函数是连续函数, continuous transformation function。

但你不管是怎样的硬射函数,看起来多么 definable,你最终要走到两个实数集之间的
硬射,也就是定义域实数集和值域实数集之间的硬射。

而两个实数集之间的硬射,归根到底就是 axiom of choice 。 而实数集之间的 axiom
of choice ,是没有 definable 的(图灵机刹得住车的)choice function。这就带
来了到底是硬射美胸系花,还是硬射美腿系花,这样的硬射选择困难,因为 choice
function is non-definable(图灵机刹不住车,硬而不射),而最终让数学成为哲学
,或者说,美学。

哥们侃问题要侃本质 。。。


【 在 TheMatrix(TheMatrix) 的大作中提到: 】
<br>: 复球面无穷远点开集的定义,一句话就定义完了。但是其意义要慢慢展开
,因为
包含的
<br>: 出乎意料的东西很多,我感觉。
<br>: 比如反过来看,以无穷远点为中心,画一个小的圆圈,一个小的开集,它
的补集
对应原
<br>: 复平面上的一个大圆。无穷远点的那个小圆圈越小,它反过来对应的复平
面上的
大圆就
<br>: 越大。因为它是补集关系。
<br>: 现在我要跳跃了,我要由此类比人类的认知过程。当然我认为这不仅是类
比,这
是同构
<br>: ,是建模。当然别人不一定同意。
<br>: 把复平面上零点想象成人类认识的出发点,人类认识到的所有概念的集合
,是一
个有限
<br>: 集合,可以想象成以复平面零点为中心的一个大圆,它可能很大,但它还
是有限
的。人
<br>: 类认识向外探索,就相当于把这个大圆的边界向外推进。
: ...................
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※ 修改:·synth 於 Oct 12 23:50:46 2018 修改本文·[FROM: 69.]
※ 来源:· 未名空间站 网址:mitbbs.com 移动:在应用商店搜索未名空间·[FROM: 69.]

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