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密率与无穷项等差数列
[版面:数学][首篇作者:yzymat] , 2009年10月10日02:17:01 ,223次阅读,12次回复
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yzymat
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发信人: yzymat (仰望星空), 信区: Mathematics
标  题: 密率与无穷项等差数列
发信站: BBS 未名空间站 (Sat Oct 10 02:17:01 2009, 美东)


A是正整数集合的子集,A的密率大于0.5.
则A包含一个无穷项的等差数列。

我的一个猜想,不知成立与否。如果0.5不可以,能否把0.5改成一个稍大的数(这个数
当然小于1),
使得猜想为真?比如说,A的密率大于0.99,则A包含一个无穷项的等差数列。

然后确定出这个最小的数...........


密率的定义在  http://en.wikipedia.org/wiki/Schnirelmann_density
--

※ 来源:·WWW 未名空间站 海外: mitbbs.com 中国: mitbbs.cn·[FROM: 65.49.]

 
QL365
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发信人: QL365 (QL), 信区: Mathematics
标  题: Re: 密率与无穷项等差数列
发信站: BBS 未名空间站 (Sat Oct 10 11:05:44 2009, 美东)

Counter example:
Consider the sequence x(n): if n is between 2^(k-1) and 2^k, define x(n)= 2^
(k-1)
Then 密率 is 1, and you can not find a 无穷项的等差数列
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yzymat
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发信人: yzymat (仰望星空), 信区: Mathematics
标  题: Re: 密率与无穷项等差数列
发信站: BBS 未名空间站 (Sat Oct 10 15:31:22 2009, 美东)

正整数集合的子集, 如果密率是1,则这个子集就是正整数集。

楼上给出的是一个几何级数,2^(k-1), 密率是0,不是1

我们对 密率的定义的理解有不同...........
--

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发信人: QL365 (QL), 信区: Mathematics
标  题: Re: 密率与无穷项等差数列
发信站: BBS 未名空间站 (Sun Oct 11 10:21:10 2009, 美东)

Sorry,My misunderstandig.

Consider the following:
In all the natual numbers, between 1-10, remove 10
between 11-100, remove 91,92,...100
between 101-1000, remove 991,992,..., 1000
....

You will end up with a counter example: the 密率>0.5, yet there are gaps
that are larger than any specific number, so no 无穷项的等差数列 will
survive.

You can use the same method to construct counter examples for any 密率<1

【 在 yzymat (仰望星空) 的大作中提到: 】
: 正整数集合的子集, 如果密率是1,则这个子集就是正整数集。
: 楼上给出的是一个几何级数,2^(k-1), 密率是0,不是1
: 我们对 密率的定义的理解有不同...........



--

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发信人: yzymat (仰望星空), 信区: Mathematics
标  题: Re: 密率与无穷项等差数列
发信站: BBS 未名空间站 (Mon Oct 12 08:59:16 2009, 美东)

a_1 < a_2 < a_3 <  ......
是一自然数列, 且存在M > 0, 使得 a_{i+1} - a_i < M,对所有的自然数  i 成立,
则该序列包含有无限长的等差数列。


感谢楼上!  现在希望这个结论是正确的,而且不至于太简单就证明出来。
--

※ 修改:·yzymat 於 Oct 12 09:01:08 2009 修改本文·[FROM: 65.49.]
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发信人: QL365 (QL), 信区: Mathematics
标  题: Re: 密率与无穷项等差数列
发信站: BBS 未名空间站 (Mon Oct 12 10:53:55 2009, 美东)

Do you still assume density to be close enough to 1? If not here is a simple
counter example:
a_1 to a_10, increases by 2
a_10 to a_100 increases by 3
a_100 to a_1000 incrases by 2
a_1000 to a_10000 increases by 3
...


【 在 yzymat (仰望星空) 的大作中提到: 】
: a_1 < a_2 < a_3 <  ......
: 是一自然数列, 且存在M > 0, 使得 a_{i+1} - a_i < M,对所有的自然数  i 成立,
: 则该序列包含有无限长的等差数列。
: 感谢楼上!  现在希望这个结论是正确的,而且不至于太简单就证明出来。



--

※ 来源:·WWW 未名空间站 海外: mitbbs.com 中国: mitbbs.cn·[FROM: 198.45.]

 
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发信人: yzymat (仰望星空), 信区: Mathematics
标  题: Re: 密率与无穷项等差数列
发信站: BBS 未名空间站 (Mon Oct 12 11:21:44 2009, 美东)

存在公差6的无限等差数列。
【 在 QL365 (QL) 的大作中提到: 】
: Do you still assume density to be close enough to 1? If not here is a
simple
:  counter example:
: a_1 to a_10, increases by 2
: a_10 to a_100 increases by 3
: a_100 to a_1000 incrases by 2
: a_1000 to a_10000 increases by 3
: ...



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发信人: QL365 (QL), 信区: Mathematics
标  题: Re: 密率与无穷项等差数列
发信站: BBS 未名空间站 (Mon Oct 12 11:58:04 2009, 美东)

How about this:
we arrange the sequence in such a way:
3k of 2-increments followed by 2k+1 3-incrments
for k = 1,2,....


【 在 yzymat (仰望星空) 的大作中提到: 】
: 存在公差6的无限等差数列。
: simple



--

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发信人: QL365 (QL), 信区: Mathematics
标  题: Re: 密率与无穷项等差数列
发信站: BBS 未名空间站 (Mon Oct 12 14:47:29 2009, 美东)

You can construct such a sequence so that the density is  close to 1, but the
increments are either 1 or 2.

For example:
Start from x1= 1
The first 101  increments are all 1: 2,..., 102
Followed by 1 2-increments: 104 (all even)
Then, 1001   1-increments, 105,... 1105
followed by 2 2-increments: 1107, 1109 (all odd)
Then 10001  1-increments
followed by 3 2-increments:  (all even)
Then 100001  1-increments
followed by 4 2-increments  (all odd)
....

The idea is to make the 2-increment blocks to be all even follwed by all odd
follwed by all even .....

You can easily prove that this set does not have infinite arithmetic
progression subset -- because any A.P. sequence can only be one of the
following 3 patterns:
all even; all odd; alternating even/odd.







【 在 QL365 (QL) 的大作中提到: 】
: How about this:
: we arrange the sequence in such a way:
: 3k of 2-increments followed by 2k+1 3-incrments
: for k = 1,2,....





--

※ 修改:·QL365 於 Oct 12 16:58:40 2009 修改本文·[FROM: 198.45.]
※ 来源:·WWW 未名空间站 海外: mitbbs.com 中国: mitbbs.cn·[FROM: 198.45.]

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