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文章阅读:方程/矩阵简史和《九章算术》
[同主题阅读] [版面: 史海钩沉] [作者:FoxMe] , 2020年05月23日10:28:19
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发信人: FoxMe (FoxMe), 信区: History
标  题: 方程/矩阵简史和《九章算术》
发信站: BBS 未名空间站 (Sat May 23 10:28:19 2020, 美东)

中国古代科学最伟大的贡献是什么?国人一般只知道四大发明,可是四大发明只是技术
。科学最基础的是数学,中国古典数学的最高成就是以《九章算术》为代表的算经十书。

算经十书是唐代李淳风注释的十部算经,唐朝国立大学数学系的教材,包括《周髀算经
》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《张邱建算经》、《五曹算经》、
《五经算术》、《缉古算经》、《缀术》和《夏侯阳算经》。

如果有小朋友在家不能去上学,可以大家一起学学《九章算术》。九章算术既有几何,
又有代数。这是汉朝太学生课本,也是史上第一本脑筋急转弯。你会发现汉朝就有奥数
,两千年来教育其实没进步多少。也可使孩子认识到中国古代的数学曾经长期领先世界。

比如方程这个名称:想必有人很困惑,明明2x+3y=1是扁的,为什么叫方程呢?其实方
程最早在九章算术里指的是线性方程组,即矩阵方程,确实是方的。其中给出的解法比
所谓的高斯消元法早两千年。解方程过程中有时会用到负数,也是世界首创。

现取《九章算术》方程章18道题的第3题“上中下禾”为例(见图片)。这里“上取中
”指上禾二秉再加中禾一秉。这题数字简单,却集中反映了中国古代数学家的两项伟大
的创造:矩阵和负数。该题是线性方程组,当然可用变量替换来解。可是古人没有 x,
y, z,近代才建立数学符号体系,怎么办呢?古代数学家发明了方程术,把数字摆成方
阵,然后演化,见图(我自己写的,可能和方程术的步骤不完全一致,但大致是这样)
。方程的意思就是方形的程式。矩阵方法远远远远领先了时代,欧洲直到高斯才解决了
这个问题,晚了近两千年。以上演化即高斯消元法,大学线性代数的内容。可能今天很
多大学生都感到难以理解高斯消元法,至少我自己当年觉得矩阵很难学,因为这是从一
维到多维的跳跃。老师教的时候根本没有提到应用,如果能结合《九章算术》的例子,
则学生会兴趣大增。此外,古代数学家已经有行列式的概念,知道行列式非零时方程组
有唯一解。今天,矩阵计算非常有用,是当今热门的机器学习和人工智能的基本操作。

第二项创造是正负术。注意到第二步出现了-1,这是史上首次!今天我们把负数想当然
,可是负数的采用经历了漫长的历史。希腊从来没有用过负数,所谓的代数之父丢番图
认为负数是荒唐的。欧洲直到近代还有很多人无法接受负数。而出现在方程术中却是非
常自然的,欧洲有人认为可能与中国的阴阳八卦哲学有关。

此外,可以看出矩阵的演化过程是程序化的,只要有计算机就可输入计算。古人也确实
是这样做的,只是用的是算筹(算盘的前身,是当时世界上最先进的计算机),即一些
竹子做的小棒棒,算字的竹字头就是这么来的。像这样的算法在九章算术里很多, 可
称作计算机算法的鼻祖。可能八卦就是从算筹变来的(也可能相反),文王演八卦可能
是用算筹推演,可见中国运用算筹有几千年的历史。上世纪六七十年代直到电子计算机
出现之前,中国很多科研工作还是靠算盘完成的。

最后一个问题让小朋友想一想:古代还没有发明负号-,是怎样用棒棒表示负号的呢?
答案:用红色算筹表示正数,黑色表示负数。令人不可思议的是,这种办法现在仍然在
用,如财政赤字,只是相反。不知是否是巧合?

至于证明,西人到现在还在贬低中国数学没有证明,是完全不可接受的,如维基上:

https://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_elimination
Some special cases of the method - albeit presented without proof - were
known to Chinese mathematicians as early as circa 179 CE.

这句话极为可笑,令人作呕(还故意把时间弄得很晚,因为根据这个年代,几十年后刘
徽就给《九章算术》作注了)。方程术的算法难道不是不证自明的吗?这个解法能说是
用数字去凑的吗?这个解法与具体的数字有关系吗?只不过当时不叫证明而已,算法本
身即证明了其正确性。“上中下禾”用三维矩阵,推广到多维不是很显然的吗?方程章
确实也有4维,5维,6维的题目。所以高斯消元法应纠正为中国消元法,否则太厚颜无
耻。

后记:Equation不知是哪个烂人翻译成方程的,简直是张冠李戴。九章算术也有高次方
程(equation)的内容,以后再叙。Arithmetic译为算术基本准确,Geometry译为几何,
Algebra译为代数则是不知所云。这也是中国近代数学水平处于低潮的反映。我上中学
时因为不知道代数是什么意思,老师也不解释,顿时就被吓趴下了。

说古代中国没有科学,是一种常见的荒谬观点。只要看一眼九章算术的目录就能明白。
九章算术和几何原本(假设是真的),是东西方文明史上在以下近两千年里无法逾越的
高峰。唐朝国子监有数学系,设博士,助教,学制7年,已经形成了有体系的高等数学
教育。学生需研习算经十书,其含金量恐怕超过当今的大多数博士。希腊(假设是真的
)强在公理证明,中国长在计算实用,都是数学。算术又称算学,术即方法理论,学术
学术,大概是一个意思。中国曾经有世界上最先进的计算工具--算筹,即算盘的前身。
运筹帷幄,运筹学,都是这么来的,不应该忘记。当时最高端的应用就是天文,汉朝有
最好的历法。为什么历史上数学不被统治者重视,以至于后来没落了呢?可能儒家与统
治阶级同流合污一家独大也是原因之一。注意到西方列强无一不是数学强国。中国的工
程技术已经赶上或接近发达国家了。如果数学也达到汉唐的高度,中华民族才是真正复
兴了,至少是标准之一吧。

我为什么写这些帖子?因为时有同行问起中国剩余定理等,却发现自己对中国古代数学
一无所知,非常惭愧,随便找了写资料看看,主要是《中国数学史大系》。加上想纠正
有些网友中国古代无科学的言论 。其实这些都是再明显不过的事实。可惜国人很少知
道,还有很多人否定。外国人不了解或贬低的,还情有可原。如果我们也言比称希腊,
实在说不过去。这和中医有些类似。中国古代数学和中医,都是中华文明的宝库。中医
还好保留下来了,数学则经过明朝的科举八股和清末的西化,被彻底抛弃了,造成数学
里一堆洋名。

最后,我觉得否定中国古典数学的人,大都是缺乏了解,是数学教育的问题,所以也不
能怪他们。历史课本中也未提及中国古典数学;这些搞历史的,大多不懂数学,比如历
史学家吴晗数学考试得零分。举个例子结尾:李永乐老师讲鸡兔同笼问题:

https://www.youtube.com/watch?v=tnKaBeDVFLU&list=
PLOrDt87s8A3p3CA1kCR0jebK9vVaVHf5o&index=18

鸡兔同笼是小学奥数最难的问题之一,但其实就是2x2的 线性方程组,九章算术方程术
的简单应用。李永乐老师讲得非常好,我也是他的粉丝。可是在最后他讲了一句令人掉
下巴的话: 中国古代没有方程的概念!然后说中国古代虽然有很多的数学成就,为什
么都不被承认呢。确实令人无语。李永乐拥有北大清华的双料学位,人大附中的教师,
可以说是中国最好的教师之一。连他都这么认为,所以如果网友认为中国古代无数学,
也完全可以理解。最根本的是数学教育的问题。


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※ 修改:·FoxMe 於 May 23 10:32:07 2020 修改本文·[FROM: 82.]
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